第一百八十八章 狄利克雷函數(shù)（反常積分）

　　狄利克雷對(duì)勒讓德說(shuō)：“我發(fā)現(xiàn)了一種在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，值域不連續(xù)的函數(shù)?！?p>　　狄利克雷寫出這個(gè)狄利克雷函數(shù)，勒讓德看到這個(gè)函數(shù)有兩個(gè)項(xiàng)求極限，一個(gè)是πx前的階乘k!求極限，一個(gè)是k!πx上的2j中的j求極限。K求極限是在余弦函數(shù)之外的。

　　勒讓德說(shuō)：“這個(gè)函數(shù)處處不連續(xù)，那是不是都畫不出來(lái)？”

　　狄利克雷說(shuō)：“沒錯(cuò)這個(gè)函數(shù)圖像畫不出，但是客觀存在，還是個(gè)偶函數(shù)，值域是從0到1?！?p>　　勒讓德說(shuō)：“我看這樣的函數(shù)恐怕連周期都沒有？”

　　狄利克雷說(shuō)：“以任意正有理數(shù)為其周期，無(wú)最小正周期?！?p>　　勒讓德說(shuō)：“我終于知道了，這個(gè)函數(shù)處處不連續(xù)，所以處處不可求導(dǎo)，所以也處處不可以積分，與x所包的面積大小也是一個(gè)謎?！?p>　　狄利克雷說(shuō)：“沒錯(cuò)，以現(xiàn)有的微積分只是，沒辦法積分?！?p>　　勒讓德說(shuō)：“但是目測(cè)也可以得到大小?！?p>　　狄利克雷說(shuō)：“那只是知道個(gè)大概，沒辦法對(duì)此精確計(jì)算的?！?p>　　后來(lái)一個(gè)叫勒貝格的人改變了原有的黎曼積分方式，從豎形積分變成橫向積分，解決了這一問(wèn)題。在單位區(qū)間[0，1]上勒貝格可積，且勒貝格積分值為0（且任意區(qū)間以及R上甚至任何R的可測(cè)子集上（區(qū)間不論開閉和是否有限）上的勒貝格積分值為0 ）