第一百零五章 魔方矩陣

　　魔方矩陣，又稱幻方，縱橫圖。

　　是指由1~N^2共N^2個數(shù)排列成的有相同的行數(shù)和列數(shù)，并在每行每列、對角線上的和都相等的一個N階矩陣。

　　在《射雕》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍?zhí)叮氵M(jìn)瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數(shù)字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉一下子就答出來了。

　　4 9 2

　　3 5 7

　　8 1 6

　　這就是一個最簡單的三階平面魔方矩陣。

　　而今天老唐出的這道題，是更加高難度的五階魔方平面矩陣。

　　運算難度，不知道比三階魔方矩陣高了多少。

　　不過，魔方矩陣既然被數(shù)學(xué)家們定義出來，那自然有一套起獨特的運算規(guī)律。

　　根據(jù)N的數(shù)值，可以分為三種情況。

　　當(dāng)N為奇數(shù)，當(dāng)N為4的倍數(shù)，當(dāng)N為其他偶數(shù)！

　　老唐這道題是求5階平面魔方，很顯然，可以套用N為奇數(shù)的運算規(guī)律。

　　程諾在腦海里默默回憶起當(dāng)N為奇數(shù)時平面魔方的填寫規(guī)律。

　　“當(dāng) N 為奇數(shù)時

　　①將1放在第一行中間一列;

　?、趶?開始直到n×n止各數(shù)依次按下列規(guī)則存放：

　　按 45°方向行走，如向右上

　　每一個數(shù)存放的行比前一個數(shù)的行數(shù)減1，列數(shù)減1

　?、廴绻辛蟹秶鼍仃嚪秶?，則回繞。

　　例如1在第1行，則2應(yīng)放在最下一行，列數(shù)同樣減1;

　?、苋绻瓷厦嬉?guī)則確定的位置上已有數(shù)，或上一個數(shù)是第1行第n列時，

　　則把下一個數(shù)放在上一個數(shù)的下面?！保ㄗⅱ伲?p>　　“所以說，正確的答案應(yīng)該是……”

　　程諾在自己的腦海里構(gòu)建宮格模型。很快，便將25個數(shù)字填入其中。

　　唰唰唰唰~~

　　在同學(xué)們眼中，只見程諾沒有任何的猶豫，拿著粉筆在黑板上筆走龍蛇，粉屑飛揚。中間沒有任何停頓，一氣呵成！

　　舉手抬足間，透露著無比強(qiáng)大的自信。

　　“好了，老師，我填完了?！背讨Z轉(zhuǎn)身，將粉筆頭扔在講桌上，微笑著對老唐說道。

　　“好，我看一下，你填的對不對？”老唐抱著一種好奇心，看向黑板上已經(jīng)被填滿的宮格。

　　 15 8 1 24 17

　　 16 14 7 5 23

　　 22 20 13 6 4

　　 3 21 19 12 10

　　 9 2 25 18 11

　　全部正確?。?p>　　 25個數(shù)字的位置，和正確答案如出一轍。

　　每一行，每一列，每一條對角線的和，都是65！~

　　老唐驚訝的看了神色如常的程諾一眼。然后在全班同學(xué)滿含期待的目光下宣布，“程諾同學(xué)的答案……是正確的！”

　　嘩~~

　　全班同學(xué)盡皆嘩然。

　　果然啊，程諾這個家伙，還是一如既往的強(qiáng)悍呀！

　　比不過，實在是比不過。

　　他們和程諾的大腦配置，簡直不在一個水平層面上。

　　學(xué)霸，是只配被學(xué)渣所仰望的存在！

　　老唐望著程諾說道，“既然程諾同學(xué)是第一個把這道題目解出來的同學(xué)，那么我那份‘特殊’獎勵就歸程諾同學(xué)所有了。程諾，你能不能給大家講一下你是通過何種方法把這題解出來的？”

　　“沒問題?！背讨Z點頭，轉(zhuǎn)身指著那道題道，“其實這道題很簡單的。”

　　這道題……很簡單？

　　好吧，你是學(xué)霸，你說了算。

　　全班同學(xué)翻翻白眼。

　　程諾聳聳肩，神色如常的繼續(xù)講道。“在講這道題之前，我先要給大家講一個模型，叫做魔方矩陣！”

　　為什么程諾能知道魔方矩陣這個東西？

　　按理說，高中方面，不會涉及這方面的知識。

　　但程諾是誰？他可是學(xué)霸！

　　學(xué)霸的一大特征就是，永遠(yuǎn)不會滿足只學(xué)習(xí)課內(nèi)那點知識！

　　還記得程諾從書店買回的那一大堆關(guān)于世界數(shù)學(xué)難題的書嗎？其中一個難題的推理過程中，就用到了這個魔方矩陣。程諾就順便將它記下來了。

　　程諾站在講臺上，將魔方矩陣的三種解法都講了一遍。

　　“聽了這個定理之后，大家是不是覺得這道題簡單了許多。首先，第一行中間那個數(shù)字肯定是1，數(shù)字2的位置……”

　　講臺下同學(xué)們聽得頭暈?zāi)垦＃幻饔X厲，程諾倒是在講臺上講的津津有味。

　　“好了，我想說的就是這些，謝謝大家！”說完，程諾走下講臺。

　　啪啪啪~~

　　全班同學(xué)下意識的鼓掌。

　　老唐同志待程諾走下講臺后，站在講桌前一臉尷尬。

　　妹的！把我想要講的都講完了，讓我講啥？！

　　本來，老唐同志就想利用這個題目引出魔方矩陣，在高考前發(fā)散一下學(xué)生的思維。

　　可現(xiàn)在……

　　呃……好吧，程諾把魔方矩陣講的比我還詳細(xì)，那我這個當(dāng)老師的還是不獻(xiàn)丑了吧。

　　“好了。同學(xué)們，我們拿出上周發(fā)的那套衡水真題，我們講一下那套試卷?！崩咸茖擂蔚目人粤艘幌拢膊粏柾瑢W(xué)們有沒有聽懂了，急忙轉(zhuǎn)移話題道。

　　“哇，穆冷，程諾果然厲害呢。這樣的題都會！”蘇小小的明亮的眼里充滿了小星星。

　　穆冷的嘴角微微上揚，“這才是那個……桀驁的他啊！”

　　…………

　　“好了，下課。穆冷，程諾，你們兩個跟我來一趟辦公室?！?p>　　伴隨著下課鈴聲，老唐剛好把最后一道題講完。

　　程諾和穆冷對視一眼，皆是一頭霧水，不知道老唐找自己有什么事，不過還是老老實實的跟著老唐走到辦公室。

　　下樓梯的時候，程諾湊到穆冷身邊，語氣中略帶擔(dān)憂的小聲說道，“冷姐，你說是不是我們兩個談戀愛的事被老唐發(fā)現(xiàn)了？”

　　穆冷淡淡的瞥了程諾一眼，一字一頓的開口：“你-說-呢！”

　　程諾縮了縮脖子，一臉訕訕，“開玩笑，開玩笑?！?p>　　“不過，冷姐，我們兩個的事你真的不再考慮考慮嗎？你看，你是學(xué)霸，我也是學(xué)霸，學(xué)霸配學(xué)霸，我們兩個可謂是門當(dāng)戶對。生出來的孩子也一定是學(xué)霸！”程諾握緊雙拳說道。

　　穆冷抿了抿嘴唇，模棱兩可的說道，“高考后，我們在談?wù)撨@個問題吧。”

　　“好，我等你?！背讨Z淡淡一笑。

　　………………

　　注①：魔方矩陣另外兩種情況的算法。（正文字?jǐn)?shù)已達(dá)2000字，這不是水字?jǐn)?shù)，這是為了幫助大家學(xué)會這道題?。≌埓蠹依斫庾髡叩牧伎嘤眯?。）

　　(2)當(dāng)N為4的倍數(shù)時

　　采用對稱元素交換法。

　　首先把數(shù)1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣

　　然后將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上的數(shù)關(guān)于大方陣中心作中心對稱交換（注意是各各子矩陣對角線上面的數(shù)），即a(i，j)與a(n+1-i，n+1-j)交換，所有其它位置上的數(shù)不變。(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)

　　(3)當(dāng)N 為其它偶數(shù)時

　　當(dāng)n為非4倍數(shù)的偶數(shù)(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(shù)(2m+1階)子方陣。

　　按上述奇數(shù)階魔方給分解的4個子方陣對應(yīng)賦值

　　上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)

　　即4個子方陣對應(yīng)元素相差v，其中v=n*n/4

　　四個子矩陣由小到大排列方式為①③④②

　　然后作相應(yīng)的元素交換：a(i，j)與a(i+u，j)在同一列做對應(yīng)交換(j<t-1或j>n-t+1)，

　　注意其中j可以去零。

　　a(t-1，0)與a(t+u-1，0)；a(t-1，t-1)與a(t+u-1，t-1)兩對元素交換

　　其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。

　　…………

　　 PS：解題步驟我已經(jīng)詳細(xì)到這種程度了。如果你們再不會……我也沒辦法了。