第17章 單代數(shù)擴(kuò)域

　　人要是培養(yǎng)一個(gè)習(xí)慣是21天，但要讓一個(gè)習(xí)慣作的很自然，一點(diǎn)都不勉強(qiáng)，卻需要三個(gè)月。

　　雖然最近系統(tǒng)沒(méi)有派任務(wù)給牧林做，但他依然會(huì)找一些書看和上網(wǎng)查查資料。

　　下午回到家后，像往常一樣躺到床上看了會(huì)小說(shuō)，等到下午三點(diǎn)多的時(shí)候他到華夏數(shù)學(xué)論壇逛了逛，隨手解決幾個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

　　每日數(shù)學(xué)論壇上都會(huì)有許多奇思妙想的數(shù)學(xué)問(wèn)題，他每日都會(huì)解決幾個(gè)，隨手點(diǎn)開(kāi)一個(gè)自己感興趣的網(wǎng)頁(yè)。

　　【證明：如果n階行列式Δ的某一行(或列)的所有元素都是1，則Δ的所有元素的代數(shù)余子式和等于Δ?！?p>　　牧林想了片刻，開(kāi)始輸入解答答案。

　　【設(shè)Δ是n階方陣A=(aij)的行列式，aij的代數(shù)余子式是Aij(a≤i，j≤n)。

　　按照代數(shù)余子式的定義和行列式展開(kāi)公式，我們知道

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　　由于專置后行列式的值保持不變，所以，若行列式Δ某一列所有元素都是1，專置后，就變成了某一行所有元素都是1的情況，這時(shí)Δ所有元素的代數(shù)余子式之和也必定等于Δ?！?p>　　一題解完后，又看向另一道題。

　　【設(shè)n階方陣A=(aij)的元素aij都是變量x的可微函數(shù)，i≤i，j≤n。證明：d(detA)/dx=∑i≤i，j≤nAij，其中Aij是元素aij的代數(shù)余子式，1≤i，j≤n。】

　　“這么簡(jiǎn)單的題目都找人來(lái)問(wèn)?！蹦亮值馈?p>　　說(shuō)完他就開(kāi)始寫。

　　【d/dt|a11(t)a12(t)...a1n(t0|a21(t)a22(t)...a2n(t)|an1(t)an2(t)...ann(t)|=d/dt(∑(i1，...，in)(-1)δ(i1，...，in)a1i1(t)...anin(t))……n∑j=1(∑i1，...，in(-1)δ(i1，...in)a1i1(t)...ajij'(t)...anin(t))】

　　許久之后，他無(wú)聊的放下手機(jī)。

　　“一個(gè)能打的都沒(méi)有！”牧林無(wú)奈的道。

　　“叮！”這時(shí)，手機(jī)上傳來(lái)聲音，牧林拿過(guò)手機(jī)查看。

　　見(jiàn)到有人在論壇上@他。

　　由于這段時(shí)間他在論壇的代數(shù)板塊上大殺四方，所以積累了許多的粉絲。

　　每當(dāng)有高難度的代數(shù)題目，就會(huì)有人@他。

　　他打開(kāi)看了一下。

　　【IMC放出一個(gè)題目，誰(shuí)能解決獎(jiǎng)金一萬(wàn)美元！】

　　“一萬(wàn)美元？”牧林驚呼道：“我這輩子我沒(méi)見(jiàn)過(guò)一萬(wàn)美元是多少！”

　　說(shuō)完他拍了自己一下，道：“我他媽都沒(méi)見(jiàn)過(guò)美元，怎么可能見(jiàn)過(guò)一萬(wàn)美元?！?p>　　“冷靜，一定要冷靜，這錢我一定要賺到?！彼蛋禐樽约捍驓?。

　　在這句話的下方有一個(gè)網(wǎng)頁(yè)鏈接，點(diǎn)擊進(jìn)去后是IMC的官方網(wǎng)站。

　　在官方網(wǎng)站的最頂部有一個(gè)橫幅，上面用紅色粗體文字寫出‘$10000 problem’這幾個(gè)字。

　　點(diǎn)擊橫幅后跳出一個(gè)網(wǎng)頁(yè)，顯示著問(wèn)題，在最下端顯示著answer這個(gè)按鈕。

　　【在域F有擴(kuò)域E的前提下進(jìn)行的，現(xiàn)在我們只是給一個(gè)域F，是不是F的單擴(kuò)域存在？】

　　“單擴(kuò)域？”牧林微微皺眉。

　　代數(shù)我們都知道，中學(xué)的時(shí)候就學(xué)了代數(shù)，但這只是非?；A(chǔ)、簡(jiǎn)單的代數(shù)。

　　現(xiàn)代代數(shù)研究的代數(shù)結(jié)構(gòu)類型有群、環(huán)、域、模、線性空間等，所以代數(shù)就分為線性代數(shù)、群論、域論、環(huán)論、模論……

　　而單擴(kuò)域和單代數(shù)有關(guān)！

　　單代數(shù)里面又有單代數(shù)擴(kuò)張，又稱為代數(shù)擴(kuò)張。

　　代數(shù)擴(kuò)張從上世紀(jì)20年代中期起，就成為現(xiàn)代代數(shù)的基本用語(yǔ)。

　　代數(shù)擴(kuò)張，是指在抽象代數(shù)中，一個(gè)域擴(kuò)張被稱作代數(shù)擴(kuò)張，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)的元素都是在上代數(shù)的，即：滿足一個(gè)系數(shù)布于的非零多項(xiàng)式。反之則稱超越擴(kuò)張。

　　設(shè)為任意的域擴(kuò)張，可以看作是上的向量空間。

　　定義為其維度，稱作這個(gè)擴(kuò)張的次數(shù)。

　　有限次數(shù)的擴(kuò)張（簡(jiǎn)稱有限擴(kuò)張）都是代數(shù)擴(kuò)張；反之，給定一個(gè)代數(shù)擴(kuò)張，則里的任一元素都落在一個(gè)有限子擴(kuò)張內(nèi)，因此一個(gè)代數(shù)擴(kuò)張可表作有限子擴(kuò)張的歸納極限。

　　一組代數(shù)我們稱為域，而單擴(kuò)域的基本想法是從一個(gè)基域開(kāi)始以某種方式構(gòu)造包含它的更大的域。

　　“哎，不會(huì)啊！”牧林很苦惱，一萬(wàn)美元就在眼前，但這道題他毫無(wú)思路。

　　這題已經(jīng)超出他的大腦極限了，不是他可以完成的。

　　急的他心中就好像貓抓一樣。

　　“難怪是一萬(wàn)美元，連我都無(wú)法完成，其余人更不能完成了??！”

　　由于這是IMC放出來(lái)的題目，IMC是致力于普及青少年數(shù)學(xué)教育的機(jī)構(gòu)、團(tuán)體和個(gè)人組成的合作性組織，所以解決這題的人必須是青少年，十八歲以下的人。

　　“怎么辦呢？”牧林苦惱的思索。

　　這一萬(wàn)美金他真的是很想賺，這對(duì)于他家的情況有很大的幫助。

　　“哎！”他突然拍了一下腦門，道：“我怎么這么笨，有寶藏不知道用?！?p>　　說(shuō)完他打開(kāi)系統(tǒng)，點(diǎn)開(kāi)個(gè)人信息。

　　【名字：牧林

　　智力：11

　　體質(zhì)：10

　　速度：10

　　力量：12

　　積分：40

　　屬性：0】

　　“系統(tǒng)，這道題你可以幫忙解決嗎？”

　　【可以，10積分！】

　　“草，這么貴？”牧林驚訝的道，他這么久才賺了四十幾分，這一道題就要花十積分。

　　【可以不用，買賣自由，童叟無(wú)欺！】

　　“你這是童叟無(wú)欺嗎？你這里欺詐消費(fèi)者?！?p>　　【隨你便，就這個(gè)價(jià)，不還二價(jià)?！?p>　　“臥槽！”牧林氣的要爆炸，但他再怎么生氣，也拿系統(tǒng)沒(méi)辦法，誰(shuí)讓它不是人呢，自己摸都摸不到它。

　　“行，就這個(gè)價(jià)吧！”牧林無(wú)奈的道。

　　但想想其實(shí)也不錯(cuò)，畢竟積分他平時(shí)不用，現(xiàn)在拿它換十萬(wàn)美金也挺好的。

　　瞬間一股信息流向大腦沖來(lái)，熟悉的清涼感和微暈感傳來(lái)，只是片刻間這股感覺(jué)消失，腦海中出現(xiàn)一些信息。

　　“原來(lái)是這樣?！蹦亮植榭催^(guò)信息后恍然大悟道。

　　說(shuō)完他點(diǎn)擊answer！

　　瞬間跳出一個(gè)空白的輸入框。

　　【這里橫杠f(x)是f(x)所在的剩余類.由于F?F[x]，在這個(gè)同態(tài)滿射之下，F(xiàn)與橫杠F同構(gòu).這樣，由于k’和F沒(méi)有共同元，根據(jù)III，5，定理4.我們可以把K’的子集橫杠F用F來(lái)調(diào)換，而得到一個(gè)域K，使得K≈K'，F(xiàn)?K

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　　證完.】

　　在輸入框的下面還有國(guó)家、姓名、年齡、電話、機(jī)構(gòu)、身份證號(hào)、銀行卡賬號(hào)和郵箱的輸入。

　　牧林填寫國(guó)家為China、姓名Lin.Mu、年齡17、電話025-180********。

　　“機(jī)構(gòu)？”牧林想了想，繼續(xù)填寫。

　　Savant High school.（舍瓦特高中）

　　身份證號(hào)3213****

　　銀行卡賬號(hào)458031*****

　　郵箱250*******

　　所有東西填完后，他又將自己寫的內(nèi)容檢查三遍后點(diǎn)擊提交。