第六百三十五章 K3曲面

　　第一陳類等于零的二維復(fù)流形是有名的K3曲面，托爾羅夫（Todorov）用Calabi-Yau定理證明了其周期映射是滿射，蕭蔭堂利用Calabi-Yau度量證明了所有的K3曲面都是卡勒曲面。

　　而高維數(shù)的第一陳類為零的復(fù)流形的基本結(jié)構(gòu)定理也隨之而來。

　　這些都是復(fù)幾何與代數(shù)幾何中著名的猜想，在卡拉比猜想證明之前，人們毫無辦法，望而卻步。

　　最令人驚奇的是上世紀(jì)80年代初，超弦學(xué)家們認(rèn)識到第一陳類等于零的三維復(fù)流形，恰好是他們的大統(tǒng)一理論所需要的十維時空中的一個六維空間，這神秘的六維空間，在我們看不到的尺度里主宰著我們大千世界的千變?nèi)f化。

　　這個發(fā)現(xiàn)引發(fā)了物理學(xué)的一場革命。

　　物理學(xué)家們興奮地把這類流形稱為Calabi-Yau空間，Yau便是丘成桐的英文姓氏。

　　有興趣的朋友如果在Google中輸入Calabi-Yau，就會發(fā)現(xiàn)近40萬個條目。以至于不少物理學(xué)家都以為Calabi是丘成桐的名字。正如威滕（Witten）所言，在這場物理學(xué)的革命中，每一個有重要貢獻(xiàn)的人都會名揚千古。

　　復(fù)二維（或?qū)嵥木S）的“K3曲面”的第一陳氏類等于零（第6章會進(jìn)一步討論K3曲面）。根據(jù)卡拉比猜想，這表示K3曲面就像環(huán)面一樣，可以支持黎奇平坦度規(guī)。但是和歐拉示性數(shù)為零的二維環(huán)面不同，K3曲面的歐拉示性數(shù)是24。這里的重點是，雖然在復(fù)一維時，歐拉示性數(shù)等于第一陳氏類，但在較高維度時，兩者間可能有極大差異。

　　很顯然，弦論需要的是更復(fù)雜的幾何形體，在葛林與史瓦茲成功化解宇稱破壞的問題之后，尋找這個幾何空間就變成當(dāng)務(wù)之急。因為只要找到卷曲額外六維的適當(dāng)流形，物理學(xué)家就可以放手做一些真正的物理學(xué)了。最初的嘗試也是在1984年，葛林、史瓦茲，以及倫敦國王學(xué)院的魏斯特（Peter West）決定檢視“K3曲面”，這是數(shù)學(xué)家已經(jīng)研究超過一世紀(jì)的一大類復(fù)流形，更何況我證明的卡拉比猜想，顯示這些曲面上存在黎奇曲率為零的度規(guī)，因此K3曲面當(dāng)時更吸引物理學(xué)家的注意。史瓦茲回憶說：“我理解的是，為了確定我們居住的較低維空間不具有正宇宙常數(shù)，這個緊致空間必須是黎奇平坦的，這是當(dāng)時大家認(rèn)定的宇宙事實?！保ê髞碛捎诎的芰康陌l(fā)現(xiàn)，意味著宇宙常數(shù)是一個非常小但卻是正值的數(shù)，弦論學(xué)者設(shè)計了一個比較復(fù)雜的方法，從緊致黎奇平坦空間，推導(dǎo)出我們四維世界的微小宇宙常數(shù)，這是第10章討論的主題。）

　　K3曲面的名稱既暗示它猶如世界第二高峰K2峰那么崇高，又表示三位探討這個空間的數(shù)學(xué)家：庫默（Ernst Kummer）、前面提到的凱勒以及小平邦彥（Kunihiko Kodaira）。不過K3曲面只是實四維（復(fù)二維）的流形，和弦論需要的六維不合，葛林、史瓦茲、魏斯特之所以選擇K3曲面作為初始的研究目標(biāo)，部分原因是有位同事告訴他們，已經(jīng)沒有更高維的類似流形了。盡管如此，葛林說：“我自己絕不認(rèn)為我們可以厘清這個問題……即使我們當(dāng)時能得知正確的訊息（即存在類似黎奇平坦K3的六維流形）也一樣?！笔吠咂澭a充說，拿已被研究透徹的K3曲面做嘗試，“并不是真的是要進(jìn)行緊致化，我們只是試試玩玩，看看能得到什么，看它和反常消除能怎么結(jié)合”。從此以后，K3曲面一直是弦論學(xué)者重要又常用的緊致化“玩具模型”

　　K3曲面也是探討弦論對偶理論的基本模型.