第五百一十七章 阿達(dá)馬矩陣（矩陣）

　　雅克·所羅門·阿達(dá)馬為了解決一些數(shù)學(xué)問題，提出了阿達(dá)馬矩陣。

　　阿達(dá)馬矩陣是一個方陣，每個元素都是+1 或?1，每行都是互相正交的，常用于糾錯碼，如Reed-Muller碼。

　　n 階的阿達(dá)馬矩陣 H 滿足HH^T=nIn，其中In是n階單位矩陣。

　　提出這個矩陣后，西爾維斯特提出西爾維斯特構(gòu)造。

　　阿達(dá)瑪說：“我想說明這是一個矩陣的單位的尋找，或者是矩陣的逆的尋找?！?p>　　西爾維斯特說：“我可以拿假設(shè)''H''是一個''n''階的阿達(dá)馬矩陣，則下面的矩陣?！?p>　　西爾維斯特直接把很多H和-H寫入一個矩陣中，然后再換算為1和-1的樣子，繼續(xù)說：“這也是阿達(dá)馬矩陣。”

　　阿達(dá)馬說：“有趣。”

　　西爾維斯特說：“他們都是對稱矩陣，并且這些矩陣的跡都是0。第一行和第一列的元素都是+1，其他各行各列的元素都是一半+1，一半-1?！边@些矩陣和Walsh函數(shù)有密切的關(guān)系。

　　阿達(dá)馬說：“我猜想，對于每個4的倍數(shù)n= 4k，k為自然數(shù)，都存在n階的阿達(dá)馬矩陣?！?p>　　西爾維斯特說：“我可以構(gòu)造法給出了階數(shù)為1， 2， 4， 8， 16， 32 等等的阿達(dá)馬矩陣?！?p>　　阿達(dá)馬說：“我可以構(gòu)造階數(shù)為12和20的阿達(dá)馬矩陣?！?p>　　后來。Raymond Paley隨后給出了任何q+1 階的阿達(dá)馬矩陣的方法，其中q 是任何模4為3的質(zhì)數(shù)任意次冪。

　　他也給出了形式為2(q+1)的阿達(dá)馬矩陣的方法，其中q 是任何模4為1的質(zhì)數(shù)任意次冪。他使用了有限域的辦法得出了這些結(jié)論。

　　2004年6月21日Hadi Kharaghani 和 Behruz Tayfeh-Rezaie宣布他們構(gòu)造出了428階的阿達(dá)馬矩陣。

　　最小的尚未被構(gòu)造出來的4k階阿達(dá)馬矩陣是668階。