第四百八十章 切比雪夫定理（概率與統(tǒng)計(jì)）

　　俄羅斯的幾個(gè)數(shù)學(xué)家切比雪夫、柯爾莫哥洛夫和馬爾科夫在一起聊天。

　　柯爾莫哥洛夫說：“我們要讓看著疲軟的俄羅斯數(shù)學(xué)振興起來呀?！?p>　　馬爾科夫說：“我們的數(shù)學(xué)不錯(cuò)的呀，歐拉不是來過嗎？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“但人家始終認(rèn)為自己是瑞士人。雖然很多貢獻(xiàn)是在俄羅斯做出來的，但是也有人挑刺說這是瑞士人的驕傲，我們也難反駁?！?p>　　馬爾科夫說：“那倒也是，人家畢竟也是約翰伯努利的弟子，算是法國一派?！?p>　　柯爾莫哥洛夫說：“我說的振興，不是在一個(gè)領(lǐng)域的細(xì)節(jié)上小打小鬧，而是要在一個(gè)領(lǐng)域上迅速建立我們該建立的東西?！?p>　　馬爾科夫說：“代數(shù)、幾何和微積分這些，我們選哪一個(gè)？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“概率?！?p>　　馬爾科夫說：“這個(gè)領(lǐng)域不是已經(jīng)確定了，就是帕斯卡等人的那點(diǎn)東西？”

　　一直沉默的切比雪夫突然開口說：“貌似是定了，實(shí)際還有很多發(fā)展空間。我們確實(shí)可以在這個(gè)領(lǐng)域大展手腳?！?p>　　馬爾科夫說：“比如，哪里可以展開拳腳？”

　　切比雪夫說：“還知道大數(shù)定律吧？”

　　柯爾莫哥洛夫說：“伯努利大數(shù)定律，實(shí)驗(yàn)數(shù)量足夠大，就可以達(dá)到接近發(fā)生個(gè)概率值?！?p>　　切比雪夫說：“沒錯(cuò)，我們可以根據(jù)這個(gè)，繼續(xù)發(fā)展自己的新理論，保證是伯努利沒有想到過的?！?p>　　馬爾科夫說：“洗耳恭聽??！”

　　切比雪夫說：“我知道了一種不等式?！?p>　　說著，切比雪夫在一張紙上寫上了切比雪夫不等式里面包含X事件發(fā)生概率的期望，發(fā)生概率的方差。一邊寫，一邊解釋這個(gè)公式的符號(hào)的含義。

　　馬爾科夫說：“這個(gè)不等式有什么用呢？”

　　切比雪夫說：“任意一個(gè)數(shù)據(jù)集中，位于其平均數(shù)m個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的比例（或部分）總是至少為1減去m平方分之一，其中m為大于1的任意正數(shù)。”

　　馬爾科夫說：“然后呢？假如平均數(shù)m等于2呢?！?p>　　切比雪夫說：“所有數(shù)據(jù)中，至少有3/4（或75%）的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)。”

　　馬爾科夫說：“假如平均數(shù)m等于3呢。”

　　切比雪夫說：“所有數(shù)據(jù)中，至少有8/9（或88.9%）的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)3個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)?！?p>　　馬爾科夫說：“假如平均數(shù)m等于5呢?！?p>　　切比雪夫說：“所有數(shù)據(jù)中，至少有24/25（或96%)的數(shù)據(jù)位于平均數(shù)5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)?！?p>　　切比雪夫定理的這一推論，使我們關(guān)于算術(shù)平均值的法則有了理論根據(jù)．設(shè)測量某一物理量a，在條件不變的情況下重復(fù)測量n次，得到的結(jié)果X1，X2，…，Xn是不完全相同的，這些測量結(jié)果可看作是n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的試驗(yàn)數(shù)值，并且有同一數(shù)學(xué)期望a。于是，按大數(shù)定理j可知，當(dāng)n足夠大時(shí)，下式成立，即a≈（x1+x2+x3+……）/n。