瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基給在哥廷根的塔杜施·巴納赫維奇寫信，喜歡討論很多關于集合論的問題。
1916年，謝爾賓斯基說：“我發(fā)現(xiàn)了正規(guī)數(shù)?！?p> 巴納赫維奇說：“什么是正規(guī)數(shù)？”
謝爾賓斯基說：“這種數(shù)在任何基底下每個數(shù)字出現(xiàn)機會均等?！?p> 巴納赫維奇說：“是無理數(shù)這樣的數(shù)字嗎？”
謝爾賓斯基說：“沒錯，就是數(shù)字顯示出隨機分布，且每個數(shù)字出現(xiàn)機會均等的實數(shù)?！?p> 巴納赫維奇明白了這個“數(shù)字”指的是小數(shù)點前有限個數(shù)字，以及小數(shù)點后無窮數(shù)字序列。
巴納赫維奇說：“你如何去證明，這個是正規(guī)的？核心思想是什么？”
謝爾賓斯基說：“x的數(shù)字中找到字串s的概率，就像在完全隨機生成的數(shù)字序列中的一樣。如果以任何b為底x都是正規(guī)，x稱為正規(guī)數(shù)。”
巴納赫維奇說：“你的意思是隨機導致的這種正規(guī)嗎？但你如何去證明這個是隨機的？”
謝爾賓斯基說：“波萊爾—坎特利引理還記得嗎？”
巴納赫維奇想起來，這個概念是由埃米爾·博雷爾在1909年創(chuàng)造。用波萊爾—坎特利引理，他證明了正規(guī)數(shù)定理：幾乎所有實數(shù)是正規(guī)的，意思是非正規(guī)數(shù)集合的勒貝格測度為0。
巴納赫維奇說：“這就是把隨機性有用在勒貝格測度上了?！?p> 謝爾賓斯基說：“他這定理證明存在正規(guī)數(shù)，但首先給出一個例子的是我。非正規(guī)數(shù)集合是不可數(shù)的，這個結(jié)果容易得出，想法是從每個實數(shù)中完全除去一個數(shù)字?！?p> 巴納赫維奇要求謝爾賓斯基打個比方，謝爾賓斯基直接從自己的口袋里掏出了自己隨身用的筆和一個小草稿本子。開始站在那里寫起了數(shù)字。
巴納赫維奇很佩服謝爾賓斯基隨身攜帶紙幣的習慣，也欽佩他那種站著也能寫好字的能力。只要左手端著小本，右手直接寫字就行。
謝爾賓斯基在本上列出了一下幾個情況。
錢珀瑙恩數(shù)(Champernowne)：
0.1234567891011121314151617...
是從連結(jié)所有自然數(shù)的數(shù)字而得出的數(shù)，它以10為底正規(guī)，但在某些底不是正規(guī)。
科普蘭—艾狄胥常數(shù)(Copeland-Erd?s)：
0.235711131719232931374143...
從連結(jié)所有質(zhì)數(shù)的數(shù)字而得出的數(shù)，也是以10為底正規(guī)。
0.1010010001000010000010000001...
有理數(shù)在任何底都不是正規(guī)，因為它們的數(shù)字序列最終會循環(huán)出現(xiàn)。瓦茨瓦夫·謝爾品斯基在1917年給出第一個明確構(gòu)造的一個正規(guī)數(shù)。韋羅妮卡·比徹(Verónica Becher)和桑蒂亞戈·菲蓋拉(Santiago Figueira)構(gòu)造一個可計算正規(guī)數(shù)；蔡廷常數(shù)(Chaitin)Ω給出一個不可計算的正規(guī)數(shù)例子。
要證明一個不是明確構(gòu)造為正規(guī)數(shù)的數(shù)的正規(guī)性非常困難。例如2的平方根、圓周率π（它的二進制表達已被證明為正規(guī)數(shù)）、2的自然對數(shù)ln2和e是否正規(guī)仍不知道。（但基于實驗證據(jù)，猜想它們很可能是正規(guī)數(shù)。）證明仍遙不可及：就連哪些數(shù)字在這些常數(shù)的10進表示法無窮次出現(xiàn)仍不知道。大衛(wèi)·貝利(David H. Bailey)和理查德·克蘭德爾(Richard E. Crandall)在2001年猜想每個無理代數(shù)數(shù)是正規(guī)的，雖沒有找到反例，卻還沒有一個這樣的數(shù)被證明在每個底都是正規(guī)的。