第三百八十一章 拓?fù)鋵W(xué)（拓?fù)鋵W(xué)）

　　1966年，英國拓?fù)鋵W(xué)家馬克·阿姆斯特朗對自己的老師知名拓?fù)鋵W(xué)家 Erik Zeeman說：“拓?fù)鋵W(xué)是如何開始的？”

　　Erik Zeeman說：“從歐拉的七橋定理開始的，從這個中間把七橋的模型畫成圖論，從圖論中分析出拓?fù)涞葍r?！?p>　　馬克說：“聽起來很簡單，那如何去研究拓?fù)鋵W(xué)呢？”

　　Erik Zeeman說：“主要就是分類，對不同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)進(jìn)行分類。分類出很多曲面，對曲面解構(gòu)成抽象空間，然后找到拓?fù)洳蛔兞咳シ诸?。?p>　　馬克說：“那要分類很多曲面，是什么曲面？有標(biāo)準(zhǔn)嗎？”

　　Erik Zeeman說：“是的，要嚴(yán)格的連續(xù)曲面，不能是離散的。”

　　馬克說：“如何說明是連續(xù)的？”

　　Erik Zeeman說：“就跟我說的一樣，這是一個抽象空間，這個空間需要由開集和閉集這樣的東西給組成。然后開集和閉集需要引入連續(xù)映射系統(tǒng)來完整這個函數(shù)的描述?！?p>　　馬克說：“為什么要用開集和閉集這樣的東西？”

　　Erik Zeeman說：“因?yàn)閲?yán)格。如果使用幾何、數(shù)字、符號或者是其他的描述拓?fù)涞南到y(tǒng)，都缺乏嚴(yán)格性。如果時間久了會出現(xiàn)很多我們不想要的漏洞?！?p>　　馬克說：“我明白了。”

　　Erik Zeeman說：“在這樣的前提下，就可以大膽的研究映射，讓曲線充分的施展開來。可以讓普通的曲線因?yàn)橛成涑錆M整個空間。同時開始使用Tietze擴(kuò)張定理?！?p>　　馬克說：“擴(kuò)張？如何擴(kuò)張？”

　　Erik Zeeman說：“是R的n維空間的有理點(diǎn)集，擴(kuò)張到整個空間。”

　　馬克說：“擴(kuò)張到所有的無理點(diǎn)集？”

　　Erik Zeeman說：“恩，是這個意思?！?p>　　馬克說：“不錯，可是剛剛說的這個開集和閉集，這個如何算嚴(yán)格，怎么去連續(xù)，變得光滑？”

　　Erik Zeeman說：“需要有緊致性和連通性，加有界閉集這種概念。閉集是bai兩邊類似[1，10]；有界集兩邊是(1，10]，[1，10）兩種。”

　　馬克說：“有界之后，如何緊致化？”

　　Erik Zeeman說：“這是海涅－博雷爾定理或有限覆蓋定理、定理的主要內(nèi)容是度量空間的子集是緊致的，當(dāng)且僅當(dāng)它是完備的并且完全有界的?！?p>　　馬克說：“是子集緊致就行嗎？那能不能在詳細(xì)一些，緊致空間的性質(zhì)是什么？”

　　Erik Zeeman說：“緊致性本質(zhì)上是有限性條件，有限性條件破解類似一日之椎，日取其半，萬世不可遏這樣的意思。假如孫悟空在如來的手掌心翻跟斗，跟斗云是一個任意序列，停在如來的手指旁是存在一個子列收斂，留下到此一游的字和撒尿是在一個有界的閉集里?；蛘咭粋€瓶子里裝高爾夫球后，可以裝石子，然后還可以裝沙子，最后還可以裝水，這都說明原來的東西不夠緊。這些都可以作為例子來想。”

　　馬克說：“不錯，這個解釋變得清晰了一些。”

　　Erik Zeeman說：“然后，就需要了解乘積空間?！?p>　　馬克說：“乘積空間是干什么的，是要把拓?fù)淇臻g乘起來嗎？”

　　Erik Zeeman說：“沒錯，打個比方，就是R的n維空間是n個R直線乘起來的?！?p>　　馬克說：“這個是在高維度實(shí)數(shù)坐標(biāo)中的一種比喻。”

　　Erik Zeeman說：“現(xiàn)在開始研究連通性。如果非空的A和B都是分離并，他們都在X中，一般是不連通的。”

　　馬克說：“什么？”

　　Erik Zeeman繼續(xù)說：“如果X讓分離并連通了，就稱之為連通的?！?p>　　馬克說：“R的n維空間是連通的嗎？”

　　Erik Zeeman說：“是連通的?！?p>　　Erik Zeeman：“拓?fù)涫澜缬袃煞N，一個是連通，一個是不通?！?p>　　馬克說：“如何去判定這些？”

　　Erik Zeeman：“比如一個實(shí)心圓球內(nèi)部是處處通，若有一個洞，這個洞不通?！?p>　　馬克覺得研究拓?fù)洌K歸就是說很多東西是不是等價的，或者是符合什么什么特性的，他說：“為了這是干嘛？是為了給各種不同的拓?fù)溥M(jìn)行分類？這是最合理的分類方法？”

　　Erik Zeeman：“沒錯，之后談拓?fù)浞诸悤r，都是用道路連通性這類符號去運(yùn)算各種東西的。畢竟拓?fù)洳豢闯叽绲拈L短和面積的大小之類的東西。計算的是一種性質(zhì)，類似洞數(shù)等等之類的，同時也要研究這些不同拓?fù)渲苯邮欠袷峭环N類型?！?p>　　馬克說：“然后運(yùn)算是如何遠(yuǎn)算的？有四則運(yùn)算這種嗎？”馬克腦子里有點(diǎn)暈，在想數(shù)字計算的事情，沒有用心問問題。

　　Erik Zeeman：“拓?fù)渲羞h(yuǎn)算往往要做一些工作，一般講一些復(fù)雜形狀是如何用簡單形狀組成的。但此組成也不像簡單的壘積木和焊接那么簡單。”

　　馬克笑說：“我當(dāng)然知道你想說的是莫比烏斯帶或者克萊因瓶，他們需要對材料進(jìn)行一些翻轉(zhuǎn)或者變形之后，才能組合在一起?！闭f到此處，馬克在想長條粘貼旋轉(zhuǎn)一遍時是莫比烏斯帶，旋轉(zhuǎn)兩遍的時候那是什么？雖不是莫比烏斯帶那么，但是也不是正常形狀。但馬克沒敢說這些，因?yàn)樘粤?。先收一收搞好學(xué)問吧。

　　Erik Zeeman：“沒錯，這確是拓?fù)涮攸c(diǎn)。明白這些拓?fù)湔澈系撵`活性。還有一個，就是復(fù)雜形狀的拓?fù)涫怯珊唵瓮負(fù)湫螤钫澈闲纬伞Ｄ蔷托枰獑?，什么是簡單的拓?fù)湫螤?？也就類似堆積木的積木是什么樣的？這樣的東西是最簡單的嗎，是不是還可以更簡單。這些簡單的元件拓?fù)?，也是研究對象?！?p>　　馬克說：“那當(dāng)然，這是必須的，拓?fù)湓涝趺磁拍苤滥檬裁礀|西去粘。而元件往往就難免的涉及數(shù)學(xué)中群的知識了。群就是研究數(shù)學(xué)對象的各種元件的，拓?fù)淇隙ㄒ彩切枰悍诸?，群運(yùn)算也需要了?！瘪R克才想起剛剛說四則運(yùn)算是不合適的。

　　Erik Zeeman：“沒錯，弄清一堆元件后，我們就敢粘貼了，而粘貼的時候必須弄好順序，先粘哪個，后粘哪個，這種先后順序就是軌道空間。不同的軌道空間，肯定會粘出不一樣的東西?！?p>　　馬克說：“沒錯，然后我們就要開始這些工作了?！?p>　　Erik Zeeman：“走到這一步，想必要讓自己思想升華一下了，其實(shí)知道拓?fù)鋵W(xué)的計算本質(zhì)后，那是不是就跟數(shù)學(xué)中圖論的東西是相似的，畢竟圖的形狀，里面也包含洞這些信息，唯一不同的是，圖論中連接點(diǎn)和傳輸線的權(quán)重不一樣。而拓?fù)鋵W(xué)中這些節(jié)點(diǎn)和連線都是平等的。”

　　馬克說：“所以一個個等價的拓?fù)湫螤?，就成?.....”

　　Erik Zeeman：“這種等價稱之為同倫?！?p>　　馬克說：“這是？”

　　Erik Zeeman：“一個形狀，通過連續(xù)變化，變成另外一個形狀。不破壞其中洞，或者虧格?！?p>　　馬克恍然大悟道：“所以開始要構(gòu)造基本的這些群，使用同論這個方法，可以讓一個很簡單的形狀變成各種各樣的樣子。這些樣子當(dāng)然都是同一類的。之后我們?nèi)ビ嬎氵@種各種各樣的映射了。一個簡單的拓?fù)湓霈F(xiàn)各種各樣同倫型。但是如何很多同倫型的變換物放在一起，也難以判斷出這是否是一個簡單的元件同倫變換出來的?！?p>　　Erik Zeeman：“布勞威爾不動點(diǎn)定理可以解決這個麻煩的問題?！?p>　　馬克知道布勞威爾不動點(diǎn)，但頭一次聽說要解決這個問題。

　　Erik Zeeman：“只要是同一形狀的各種不同映射，變化出千變?nèi)f化的各種同倫型的拓?fù)湫螤?，那他們的布勞威爾不動點(diǎn)一定是相同的。”

　　馬克興奮說：“太好了，很機(jī)智?！?p>　　“然后大戰(zhàn)拳腳了吧?！?p>　　Erik Zeeman說：“沒錯，在研究一些復(fù)雜平面的時候，我們可以分而治之，把平面都分成一個個簡單的形狀，這就是我們研究復(fù)雜問題的辦法。”

　　“然后研究清楚了，最后粘在一起？或者說那種分離開，我們也要知道他們怎么粘的才對?！?p>　　Erik Zeeman說：“我們把這些每個分開的東西的邊際研究清就行，這在前面的連通性中，已經(jīng)說清了?！?p>　　馬克指著一棵樹，上面有一個扭曲的木頭，馬克說：“我們研究這個扭曲的木頭，里面的旋就算一個洞。我們對這個空間進(jìn)行刨分?！?p>　　Erik Zeeman說：“在這里刨分完后，要對每一個被分開的東西，進(jìn)行編號，存在的依據(jù)就是其中心，也就是重心出。有幾個重心，就代表分成了幾個形狀，以此方便研究?！?p>　　馬克說：“然后盡量分成最基本的單元，分到不能再分處?！?p>　　Erik Zeeman說：“這就是單純逼近?！?p>　　馬克說：“如何能夠?qū)崿F(xiàn)這一過程呢？主要是看什么呢？”

　　Erik Zeeman說：“不看這個扭曲的樹，打個比方，我們挖出來一個鉆石原石，要把他們分成簡單的四面體一類的形狀，當(dāng)然不是鉆石那種的。我們盡可能剩下材料，不浪費(fèi)任何一個區(qū)域，盡可能多的去切割。”

　　馬克說：“聽起來很困難啊?！?p>　　Erik Zeeman說：“需要對原來石頭的棱進(jìn)行測量和分析，這就是復(fù)形的棱道群，再根據(jù)此，進(jìn)行軌道空間的單純刨分。盡量分的要合理，一步步來。當(dāng)然結(jié)果就是得知軌道和對應(yīng)的元件單形。”

　　馬克說：“確實(shí)難，但極具備實(shí)用性?！?p>　　Erik Zeeman說：“切割鉆石是三維空間，而我們要面對的很多更加復(fù)雜的高維復(fù)形?！?p>　　馬克說：“那怎么辦，聽起來不見得，讓人望而卻步啊！”

　　Erik Zeeman說：“先對其進(jìn)行分類，其中要得到軌道和單形，所以要把軌道定向工作做好。而分類的過程，要看總體的歐拉示性數(shù)，然后把割開和修補(bǔ)進(jìn)行運(yùn)算，著都用對應(yīng)的運(yùn)算方式。曲面需要很多符號來表示，方便區(qū)分和運(yùn)算。”

　　馬克開竅也快的說：“之后要用同調(diào)理論，使用一個有方向的軌道，結(jié)合每個拓?fù)涞倪吘壖由戏较?，然后對不同?fù)雜形狀，分析其形狀是否可以連續(xù)變換得到。本質(zhì)上是拓?fù)渥兂深愃茍D的一種計算和對比的過程。其中軌道聯(lián)系單形會以一串?dāng)?shù)字來表示這種組成。這里很多就會涉及到鏈，和很多單形的邊緣。直接把單形邊緣放入軌道中，形成一個鏈子，這個鏈子就是帶著方向和組合方式的長鏈?！?p>　　Erik Zeeman說：“想想，世間萬事很多都可以用同調(diào)論，同調(diào)論不僅在微分幾何、復(fù)變函數(shù)、代數(shù)幾何、抽象代數(shù)、代數(shù)數(shù)論、微分方程、對策論等其他許多數(shù)學(xué)分支中有著廣泛的應(yīng)用。而且在自然科學(xué)和其它工程技術(shù)領(lǐng)域的許多學(xué)科諸如:電路網(wǎng)絡(luò)、理論物理、計算機(jī)、電子通訊、現(xiàn)代控制理論乃至原子核構(gòu)造理論等學(xué)科都具有廣泛的應(yīng)用。已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)及現(xiàn)代技術(shù)領(lǐng)域中不可替代的基礎(chǔ)工具之一，也是非數(shù)學(xué)類眾多領(lǐng)域的本科生及研究生必修的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程。”

　　馬克說：“是的，它可以讓很多問題變得簡單化?！?p>　　Erik Zeeman：“同調(diào)群也需要分類研究，以示方便研究復(fù)雜形狀。在此過程中免不了會有單純映射這種簡單的，也有輻式重分的相對復(fù)雜的。區(qū)分其中復(fù)雜形分類的時候......”

　　馬克說：“也需要有布勞威爾不動點(diǎn)之類的不變量?！?