第三百四十五章 哈密頓發(fā)現(xiàn)辛幾何（辛幾何）

　　在19世紀(jì)早期，威廉·羅文·漢密爾頓發(fā)現(xiàn)了一種具有近乎神奇性質(zhì)的新型幾何空間。

　　它把運(yùn)動(dòng)和數(shù)學(xué)編碼成一個(gè)單一的、閃爍的幾何物體。

　　這一現(xiàn)象催生了一個(gè)叫做辛幾何的領(lǐng)域。

　　在過去的幾十年里，它已經(jīng)從一個(gè)小的見解集合發(fā)展成為一個(gè)動(dòng)態(tài)的研究領(lǐng)域，與數(shù)學(xué)和物理的更多領(lǐng)域有著深刻的聯(lián)系，比漢密爾頓所能想象的還要多。

　　辛幾何最終研究的是具有辛結(jié)構(gòu)的幾何空間。

　　但是一個(gè)空間有一個(gè)結(jié)構(gòu)到底意味著什么——更不用說這個(gè)特殊的結(jié)構(gòu)了——需要一點(diǎn)解釋。

　　幾何空間可以像防水面料一樣松軟，也可以像帳篷一樣僵硬。

　　西北大學(xué)的艾美·墨菲說：“防水布很有可塑性，但不管怎樣，你可以用一堆樹枝或腳手架來塑造它。”。

　　“這讓它變得更加具體?！?p>　　結(jié)構(gòu)最少的空間只是連接點(diǎn)的集合。

　　直線是一維空間。

　　球的表面是二維的。

　　這些空間中缺乏結(jié)構(gòu)意味著很容易在不從根本上改變它們的情況下使它們變形：扭曲線條，膨脹、縮進(jìn)或扭曲球體，在研究這些非結(jié)構(gòu)化空間的拓?fù)鋵W(xué)家看來，它們?nèi)匀皇且粯拥摹?p>　　劍橋大學(xué)的艾爾莎·基廷說：“就地形學(xué)家而言，如果你從一個(gè)球的表面開始，你可以隨心所欲地拉伸它，但只要你不打破它，它對(duì)他們來說仍然是同一個(gè)空間?！彼麄儗?duì)整體形狀感興趣?！?p>　　當(dāng)然，當(dāng)數(shù)學(xué)家談?wù)摽臻g變形時(shí)，他們并不是說要用手拉它。

　　相反，它們用函數(shù)變換空間：一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)變成一個(gè)函數(shù)，一個(gè)新點(diǎn)的坐標(biāo)就出來了。

　　這些變換將空間的每一個(gè)點(diǎn)帶到空間中的新點(diǎn)。

　　這在數(shù)學(xué)上相當(dāng)于晃動(dòng)防水棉。

　　您還可以向空間添加更多的結(jié)構(gòu)。

　　這種結(jié)構(gòu)增強(qiáng)了空間包含的信息，但也限制了變形的方式。

　　例如，您可以向球的表面添加度量結(jié)構(gòu)，例如在地球儀上添加經(jīng)度和緯度線。

　　這種結(jié)構(gòu)使測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離成為可能。

　　但是一旦添加了這個(gè)度量，你就不能再在不破壞原有結(jié)構(gòu)的情況下使球膨脹或縮進(jìn)，因?yàn)檫@樣你就改變了點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離。

　　例如，如果你使地球膨脹，紐約和倫敦會(huì)相距更遠(yuǎn)。

　　辛結(jié)構(gòu)是另一種可以添加的結(jié)構(gòu)，它提供了一種測(cè)量空間面積的方法，并且只有在面積測(cè)量值保持不變的情況下，你才能改變空間的形狀。

　　漢密爾頓在研究諸如行星運(yùn)動(dòng)等物理系統(tǒng)時(shí)發(fā)現(xiàn)了第一個(gè)這樣的空間。

　　當(dāng)行星在空間中移動(dòng)時(shí)，它的位置是由三個(gè)坐標(biāo)確定的，分別是x、y和z軸。這些點(diǎn)代表了行星所有可能的位置，形成了一個(gè)三維空間。

　　漢密爾頓觀察到，在三維空間的每一點(diǎn)上，你可以指定三個(gè)額外的坐標(biāo)，來指定行星沿每個(gè)軸的動(dòng)量。

　　叫他們xm，ym和zm?，F(xiàn)在你有六個(gè)坐標(biāo)：三個(gè)代表位置，三個(gè)代表動(dòng)量。

　　這六個(gè)坐標(biāo)定義了一個(gè)新的六維空間中的點(diǎn)。

　　他的六維空間是一個(gè)辛結(jié)構(gòu)空間的例子，因?yàn)樗梢赃M(jìn)行面積測(cè)量。

　　這就是它的工作原理。

　　在空間中的每一點(diǎn)上都可以畫出六個(gè)“矢量”，或者有向箭頭，它們對(duì)應(yīng)著行星在矢量所指向的維度上的方向或動(dòng)量。

　　因?yàn)閮蓚€(gè)向量可以定義一個(gè)平行四邊形——一個(gè)有面積的二維空間——我們可以取空間中的兩個(gè)向量來測(cè)量一個(gè)面積。

　　但是為了確保它是一個(gè)非零的數(shù)字，你必須選擇特定的一對(duì)向量:那些表示沿著同一軸的方向和動(dòng)量的向量。

　　不匹配的向量，如z方向向量與y動(dòng)量向量配對(duì)，形成面積為零的平行四邊形。

　　這些成對(duì)向量也反映了辛空間的另一個(gè)重要性質(zhì)，即它們與復(fù)數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系。這些數(shù)字包括i，即?1的平方根，它們采用a+bi的形式，其中a是實(shí)部，b是虛部。

　　定義六維辛空間的一種方法是用三個(gè)復(fù)數(shù)，每個(gè)復(fù)數(shù)的兩個(gè)部分提供兩個(gè)坐標(biāo)。

　　這兩部分也對(duì)應(yīng)于我們配對(duì)測(cè)量面積的兩個(gè)向量。

　　因此，對(duì)于每個(gè)點(diǎn)，基于x的方向和動(dòng)量向量（例如）不僅提供了測(cè)量面積的方法，而且構(gòu)成了定義空間的三個(gè)復(fù)數(shù)之一。

　　這種關(guān)系反映在辛的名稱中，辛來自希臘語(yǔ)單詞sumplektikós，相當(dāng)于基于拉丁語(yǔ)的“complex”，這兩個(gè)詞都意味著“編織在一起”——這讓人聯(lián)想到辛結(jié)構(gòu)和復(fù)數(shù)相互交織的方式。

　　這也是辛空間吸引數(shù)學(xué)家想象力的主要原因之一。

　　辛幾何研究是一種保持辛結(jié)構(gòu)，保持面積測(cè)量不變的空間變換。

　　這允許在您可以使用的轉(zhuǎn)換類型方面有一定的自由，但不是太多。

　　因此，辛幾何占據(jù)了一種介于防水布的松散拓?fù)浜蛶づ竦膭傂詭缀沃g的中間位置。

　　維持辛結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換類型被稱為哈密頓異型。

　　但是，盡管漢密爾頓發(fā)現(xiàn)了辛空間的第一個(gè)例子，接著數(shù)學(xué)家開始思考在與物理世界無關(guān)的幾何空間中，辛現(xiàn)象會(huì)是什么樣子。

　　數(shù)學(xué)家總是喜歡推廣，所以我們可能會(huì)說，‘如果我們生活在八維空間而不是三維空間，經(jīng)典力學(xué)會(huì)是什么樣子?

　　從20世紀(jì)60年代開始，弗拉基米爾·阿諾德(VladimirArnold)就提出了幾個(gè)有影響力的猜想，這些猜想抓住了辛空間比普通拓?fù)淇臻g(比如松軟的球面)更具剛性的具體方式。

　　其中一個(gè)被稱為阿諾德猜想，它預(yù)測(cè)了哈密頓方程的異態(tài)具有數(shù)量驚人的“固定”點(diǎn)，這些點(diǎn)在變換過程中不會(huì)移動(dòng)。

　　通過研究它們，你可以知道是什么使辛空間不同于其他的幾何空間。

　　20世紀(jì)80年代末，一位名叫安德烈亞斯·弗洛爾(AndreasFloer)的數(shù)學(xué)家提出了一種名為弗洛爾同構(gòu)的理論，這是一種強(qiáng)有力的框架，是數(shù)學(xué)家現(xiàn)在研究辛現(xiàn)象的主要方法。

　　它使用了被稱為偽全純曲線的對(duì)象，這種曲線以迂回的方式允許數(shù)學(xué)家計(jì)算不動(dòng)點(diǎn)，并確定它們的某個(gè)最小數(shù)目是辛空間固有的。

　　物理學(xué)符號(hào)也是人類解釋世界的工具，而不能把物理學(xué)理解為客觀世界的本質(zhì)！

　　Gromov，Arnold，Sindel，Eliashberg都是辛幾何傳奇，達(dá)布定理是辛幾何第一個(gè)定理

　　結(jié)構(gòu)和量化，它們互相成就！這畫面太美，已延續(xù)400年