第二百五十四章 帕塞瓦爾定理（傅立葉級數(shù)）

　　帕斯瓦爾Marc-Antoine Parseval定理是在1799年提出的。

　　由于某種需求，需要算出信號能量的大小。

　　帕塞瓦爾開始思考信號能量大小的計算方法。

　　按照傅立葉變換，信號可以分成無數(shù)個不同的三角函數(shù)，而每個三角函數(shù)信號的能力是好計算的。

　　所以帕塞瓦爾認為一個信號所含有的能量恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量能量之和。

　　同樣一個信號所含有的功率恒等于此信號在完備正交函數(shù)集中各分量功率之和。

　　它表明信號在時域的總能量等于信號在頻域的總能量，即信號經(jīng)傅里葉變換后其總能量保持不變，符合能量守恒定律。

　　后來這個可以解釋信號衰落，也就是瑞利衰落信道。

　　瑞利衰落信道（Rayleigh fading channel）是一種無線電信號傳播環(huán)境的統(tǒng)計模型。這種模型假設(shè)信號通過無線信道之后，其信號幅度是隨機的，即“衰落”，并且其包絡(luò)服從瑞利分布。

　　這一信道模型能夠描述由電離層和對流層反射的短波信道，以及建筑物密集的城市環(huán)境。瑞利衰落只適用于從發(fā)射機到接收機不存在直射信號的情況，否則應(yīng)使用萊斯衰落信道作為信道模型。

　　瑞利衰落能有效描述存在能夠大量散射無線電信號的障礙物的無線傳播環(huán)境。若傳播環(huán)境中存在足夠多的散射，則沖激信號到達接收機后表現(xiàn)為大量統(tǒng)計獨立的隨機變量的疊加，根據(jù)中心極限定理，則這一無線信道的沖激響應(yīng)將是一個高斯過程。

　　瑞利衰落屬于小尺度的衰落效應(yīng)，它總是疊加于如陰影、衰減等大尺度衰落效應(yīng)上。

　　信道衰落的快慢與發(fā)射端和接收端的相對運動速度的大小有關(guān)。相對運對導(dǎo)致接收信號的多普勒頻移。圖中所示即為一固定信號通過單徑的瑞利衰落信道后，在1秒內(nèi)的能量波動，這一瑞利衰落信道的多普勒頻移最大分別為10Hz和100Hz，在GSM1800MHz的載波頻率上，其相應(yīng)的移動速度分別為約6千米每小時和60千米每小時。特別需要注意的是信號的“深衰落”現(xiàn)象，此時信號能量的衰減達到數(shù)千倍，即30～40分貝。