第二百三十六章 柯西序列（級(jí)數(shù)）

　　柯西聲名遠(yuǎn)播，很多學(xué)生都喜歡去聽(tīng)的課。

　　一個(gè)崇拜柯西的學(xué)生問(wèn)柯西：“數(shù)學(xué)的用途在哪里？”

　　柯西對(duì)這個(gè)問(wèn)了多次的問(wèn)題都不再想去回答。

　　學(xué)生也覺(jué)得問(wèn)的沒(méi)有水平，只得改口說(shuō)：“物理學(xué)的一些模型可以反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)嗎？”

　　柯西說(shuō)：“不可以，純數(shù)學(xué)的東西，只能依靠抽象的想象，所以沒(méi)辦法讓實(shí)體的東西反映出來(lái)。如果說(shuō)能，那才是撒謊?！?p>　　學(xué)生說(shuō)：“言為之意是數(shù)學(xué)無(wú)用嗎？”

　　柯西說(shuō)：“錯(cuò)誤，雖然數(shù)學(xué)不能被實(shí)體表現(xiàn)出來(lái)。但是很多實(shí)際的東西的原理卻暗含著重要的數(shù)學(xué)，被數(shù)學(xué)的框架所支撐?！?p>　　學(xué)生說(shuō)：“如此矛盾如何理解？”

　　柯西說(shuō)：“優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家就可以提取出實(shí)體中真正屬于數(shù)學(xué)的東西，而不會(huì)讓實(shí)體去可以表現(xiàn)出數(shù)學(xué)的抽象模型。數(shù)學(xué)家可以有建立重要模型的能了，而不是費(fèi)力的去學(xué)習(xí)，或者抓不住問(wèn)題的重點(diǎn)?！?p>　　在數(shù)學(xué)中，一個(gè)柯西序列是指一個(gè)這樣一個(gè)序列，它的元素隨著序數(shù)的增加而愈發(fā)靠近。更確切地說(shuō)，在去掉有限個(gè)元素后，可以使得余下的元素中任何兩點(diǎn)間的距離的最大值不超過(guò)任意給定的正的常數(shù)。

　　一組數(shù)列由許多元素組成，每個(gè)元素都有一個(gè)唯一的序號(hào)?？挛餍蛄惺沁@樣一組數(shù)列，它的元素隨著序號(hào)增加而接近。

　　給定一個(gè)數(shù)列，如何判斷它是否是柯西序列？方法是先去掉N個(gè)元素（N是有限的數(shù)），再看剩下的元素有沒(méi)有這樣一種規(guī)律：任何兩個(gè)元素之差不大于任意指定的正數(shù)。

　　這種序列有無(wú)窮多個(gè)元素，我們可以舉一個(gè)具體的例子。比如一個(gè)序列：{X1， X2， X3， X4…}，其中X1 = 1， Xn+1 =(Xn + 2 / Xn)/ 2。這個(gè)序列其實(shí)是：{1， 3/2， 17/12 …}?？梢宰C明這個(gè)數(shù)列最后收斂到一個(gè)無(wú)理數(shù)：根號(hào)2。既然它收斂于某個(gè)具體的數(shù)（根號(hào)2），那么當(dāng)我們?nèi)サ粲邢迋€(gè)數(shù)之后，剩下的數(shù)都無(wú)窮接近于根號(hào)2，當(dāng)然任何兩個(gè)元素之差不大于任意正數(shù)，于是能確定這是柯西序列。

　　我們可知，柯西序列的定義有賴于如何定義距離。在上述例子里，我們把兩個(gè)數(shù)之差定義為它們的距離，當(dāng)然距離還有其他的定義方法。只有定義了距離，柯西序列才有意義。換句話說(shuō)，只有在度量空間中柯西序列才有意義。

　　柯西序列的重要作用是定義“完備空間”。完備空間是指一種度量空間，它的所有柯西序列（如果有的話），都收斂在這個(gè)空間自己里面。有一種直觀的形容方法就是完備空間“沒(méi)有孔”（內(nèi)部不缺點(diǎn)），“不缺皮”（邊界不缺點(diǎn)）。完備空間在數(shù)學(xué)分析里面有重大作用。