第三十四章 丟番圖方程

　　古代有許多著作，是因?yàn)樗麄冋胰速Y料。丟番圖的算術(shù)就是這樣的情形。

　　畢達(dá)哥拉斯學(xué)派喜歡思考幾何問題，丟番圖的都是代數(shù)問題。比如，花一定的錢買不同的各種價錢的東西，總共有幾種買法。能不能有效的把所有可以的買法全部都計算出來？

　　丟翻圖對路人甲說：“東方有一個問題，1公雞值1錢，1母雞值3錢，3小雞值1錢。有一百錢可以怎么買這些雞？分?jǐn)?shù)肯定是不行的，很多東西不能分成幾半，所有東西上必須是整數(shù)。肯定不能是分?jǐn)?shù)。”丟番圖是一個不喜歡分?jǐn)?shù)的人，認(rèn)為用分?jǐn)?shù)解方程不能解決所有問題。

　　路人甲陷入思考，腦子有點(diǎn)轉(zhuǎn)不過來。皺眉說：“我不會算呀！這個怎么算？”

　　丟翻圖說：“東方的算術(shù)書里已經(jīng)有了答案，公雞、母雞和小雞的比例有4:18:78，又有8:11:81，又有12:4:84這三種答案。”

　　路人甲說：“你也是看答案知道的。你有簡單的方法計算這些嗎？”

　　丟翻圖說：“我只有笨辦法去試，沒有簡單快速的辦法。如果有，那可是偉大的發(fā)現(xiàn)?！?p>　　路人甲說：“會有聰明的后人發(fā)現(xiàn)嗎？”

　　丟翻圖說：“估計不會。因?yàn)闆]有簡單方法，所以這才是這個問題的魅力。”

　　路人甲說：“沒錯，但是如果一個式子的解都是小數(shù)或者分?jǐn)?shù)，你不會去用嗎？”

　　丟翻圖說：“我喜歡整數(shù)，不喜歡分?jǐn)?shù)和小數(shù)。一個式子，我只關(guān)注有沒有整數(shù)解，如果沒有整數(shù)解，就相當(dāng)于無解。因?yàn)楹芏嗍虑楸仨氁谜麛?shù)來表達(dá)。我喜歡去尋找各種各樣的公式。然后就去尋找這些公式的整數(shù)解。”

　　路人甲說：“你具體是怎么做的？”

　　丟翻圖說：“寫出一個不定方程，計算所有整數(shù)解。先看看何時有解，看看有解的時候決定解的個數(shù)，然后求出所有的解?！?p>　　丟番圖的出生日期不可靠，但他的墓碑上有很經(jīng)典的一道數(shù)學(xué)題目：

　　“墳中安葬著丟番圖，多么令人驚訝，它忠實(shí)地記錄了所經(jīng)歷的道路。上帝給予的童年占六分之一，又過了十二分之一，兩頰長胡，再過七分之一，點(diǎn)燃起結(jié)婚的蠟燭。五年之后天賜貴子，可憐遲來的寧馨兒，享年僅及其父之半，便進(jìn)入冰冷的墓。悲傷只有用數(shù)論的研究去彌補(bǔ)，又過了四年，他也走完了人生的旅途。終于告別數(shù)學(xué)，離開了人世。”

　　這是一個一次方程，答案是84歲。

　　費(fèi)馬有一天看到這個書，開啟自己的數(shù)學(xué)生涯。費(fèi)馬大定理問題由此開始。

　　可是究其一生丟番圖的發(fā)現(xiàn)也沒有讓自己的不定方程能解的更快，其中辦法只有窮舉法或者是窮舉法的各種延伸。

　　都約兩千年后的1900年，希爾伯特提出丟番圖問題的可解答性為他的23個問題中的第10題。1970年，一個數(shù)理邏輯的結(jié)果馬蒂雅謝維奇定理（Matiyasevich's theorem）說明：一般來說，丟番圖問題都是不可解的。更精確的說法是，不可能存在一個算法能夠判定任何丟番圖方程式是否有解，甚至，在任何相容于皮亞諾算數(shù)的系統(tǒng)當(dāng)中，都能具體構(gòu)造出一個丟番圖方程，使得沒有任何辦法可以判斷它是否有解。

　　到了后來的貝祖等式、勾股定理的整數(shù)解、四平方和定理和費(fèi)馬最后定理等都是丟番圖的問題。都無法用簡單的辦法可以解出。